Traduire une situation de proportionnalité par un tableau ou une écriture symbolique

Un tableau permet de ranger les valeurs qui se correspondent dans une situation de proportionnalité. Une écriture symbolique permet d’exprimer la même correspondance avec des lettres et une multiplication.

Le cours

1. Deux grandeurs sont proportionnelles lorsque les valeurs de l’une s’obtiennent en multipliant les valeurs de l’autre par un même nombre. Ce nombre s’appelle le coefficient de proportionnalité. Par exemple, si chaque carnet coûte le même prix, le prix total est proportionnel au nombre de carnets achetés.

2. Pour construire un tableau, on choisit une ligne pour chaque grandeur. On indique le nom de chaque grandeur et son unité, si elle en a une. Chaque colonne réunit les deux valeurs qui se correspondent. On garde le même ordre pour les deux lignes.

3. Par exemple, si chaque carnet coûte 6 €, on peut écrire : Nombre de carnets | 1 | 4 | 7 Prix total (en €) | 6 | 24 | 42 Chaque colonne associe un nombre de carnets à son prix total. Pour passer de la ligne du nombre de carnets à celle du prix, on multiplie toujours par 6.

4. Pour écrire la correspondance avec des lettres, on précise ce que chaque lettre représente. Dans cet exemple, si n désigne le nombre de carnets et P le prix total en euros, on écrit P = 6 × n. Plus généralement, si x désigne une valeur de la première grandeur, y la valeur correspondante de la seconde et k le coefficient de proportionnalité, la relation s’écrit y = k × x.

5. Le sens de la correspondance est important : dans l’exemple, on multiplie le nombre de carnets par 6 pour obtenir le prix en euros. Pour vérifier le tableau ou l’écriture symbolique, on contrôle que la même multiplication convient à toutes les valeurs correspondantes et que les unités sont respectées. Un tableau ne représente pas forcément une situation de proportionnalité : il faut que ce même multiplicateur existe.

Des exemples

• Chaque sachet contient 13 graines. On prépare 7 sachets identiques. Présente le nombre de sachets et le nombre total de graines dans un tableau.

  Le nombre total de graines s’obtient en multipliant le nombre de sachets par 13 : 7 × 13 = 91. Nombre de sachets | 7 Nombre total de graines | 91 Les valeurs placées dans la même colonne se correspondent. Pour ajouter d’autres colonnes, on conserverait le multiplicateur 13.

• Du ruban coûte 2,4 € par mètre. Son prix est proportionnel à la longueur achetée. On note L la longueur en mètres et P le prix en euros. Écris la relation entre P et L, puis utilise-la pour une longueur de 15 mètres.

  Pour obtenir le prix en euros, on multiplie la longueur en mètres par 2,4. La relation est donc P = 2,4 × L. Pour L = 15, on obtient P = 2,4 × 15 = 36. Le prix à payer est 36 €.

• Une machine remplit 18 bouteilles par minute, à un rythme constant. On note t la durée en minutes et B le nombre de bouteilles remplies. Traduis cette situation par une écriture symbolique et par un tableau pour une durée de 11 minutes.

  Le rythme est constant : on multiplie la durée par 18 pour obtenir le nombre de bouteilles. On écrit B = 18 × t. Pour une durée de 11 minutes, le calcul est 18 × 11 = 198. Durée (en min) | 11 Nombre de bouteilles | 198 Le tableau et l’égalité expriment la même correspondance.