Mathématiques · CE2 · environ 15 min
Compter les combinaisons de trois choix avec un arbre
Explique-moi autrement
Choisis une façon de comprendre. Tu peux toutes les essayer, dans l'ordre que tu veux.
Écris les catégories dans l'ordre : couleur, forme, ruban. Trace les branches de couleur, puis toutes les formes depuis chaque couleur, puis tous les rubans depuis chaque forme. Pour lire une combinaison, pars du départ et suis un chemin jusqu'au bout. Compte seulement les extrémités finales, pas les branches du milieu.
Si un choix est interdit après une certaine branche, ne le dessine pas à cet endroit.
Prépare des étiquettes de couleurs, de formes et de rubans. Pose une couleur, puis une forme, puis un ruban. Note la combinaison. Garde la couleur et la forme en place pendant que tu essaies tous les rubans. Change ensuite la forme et recommence. Quand toutes les formes sont utilisées, change la couleur. Dessine enfin un chemin de l'arbre pour chaque combinaison notée.
Note chaque combinaison avant de déplacer les étiquettes, sinon tu risques d'en oublier ou d'en refaire une.
Cache le début de l'arbre et regarde ce qui part d'une couleur. Compte les choix de formes et de rubans dans ce petit groupe. Si chaque couleur possède exactement le même groupe, tu peux multiplier le nombre de chemins du groupe par le nombre de couleurs. Si les groupes sont différents, compte-les séparément, puis additionne leurs nombres de chemins.
Tu peux multiplier des groupes seulement s'ils contiennent le même nombre de chemins. Vérifie aussi qu'une combinaison n'est pas comptée dans plusieurs groupes.
Les pièges
Additionner les nombres de choix successifs.
Prends un début de chemin et ajoute tous les choix suivants. Recommence sous chaque branche : tu verras les groupes de combinaisons apparaître.
Arrêter certains chemins avant le dernier choix.
Lis chaque chemin à voix haute. Il doit contenir une réponse pour la couleur, la forme et le ruban.
Multiplier tous les nombres même quand les branches n'offrent pas les mêmes choix.
Compare les groupes sous les premières branches. S'ils sont différents, compte chaque groupe, puis additionne leurs nombres de chemins.
Je me teste
2 questions nouvelles, sans aide. Tu vois la correction à la fin.
La leçon écriteLe cours complet, des exemples, « À retenir » à imprimer
La leçon
Ce qu'il faut savoir
Quand on prépare une tenue, un goûter ou une décoration, on peut avoir plusieurs choix à faire. Un arbre permet de trouver toutes les combinaisons possibles sans en oublier et sans compter plusieurs fois la même.
Le cours
Une combinaison réunit un choix de chaque sorte. Par exemple, pour préparer une tenue, tu peux choisir un tee-shirt, un pantalon et une paire de chaussures. L’arbre représente ces trois étapes de choix.
Pour construire l’arbre, pars d’un point de départ. Trace une branche pour chaque possibilité du premier choix et écris son nom. Au bout de chacune de ces branches, trace toutes les branches du deuxième choix. Puis, au bout de chaque nouvelle branche, trace toutes les branches du troisième choix.
Pour lire une combinaison, suis un chemin complet depuis le départ jusqu’à une extrémité de l’arbre. Chaque chemin donne une combinaison différente. Pour trouver le nombre de combinaisons, tu peux donc compter les extrémités.
Quand les mêmes possibilités sont disponibles sur toutes les branches, tu peux aussi multiplier le nombre de possibilités du premier choix par celui du deuxième, puis par celui du troisième. Ce calcul donne le même résultat que le comptage des extrémités.
Vérifie ton arbre : chaque branche doit proposer toutes les possibilités du choix suivant. Arrête-toi seulement quand chaque chemin contient les trois choix.
Des exemples
Pour décorer une carte, tu disposes de 2 couleurs : rouge et bleu, de 2 formes : rond et carré, et de 2 motifs : soleil et lune. Tu choisis une couleur, une forme et un motif. Combien de cartes différentes peux-tu créer ?
Construis l’arbre en suivant les 3 étapes : couleur, forme, motif. Départ ├─ Rouge │ ├─ Rond │ │ ├─ Soleil │ │ └─ Lune │ └─ Carré │ ├─ Soleil │ └─ Lune └─ Bleu ├─ Rond │ ├─ Soleil │ └─ Lune └─ Carré ├─ Soleil └─ Lune Le chemin « rouge → rond → soleil » représente une carte. Chaque extrémité correspond à une carte différente. Tu peux compter ces extrémités ou calculer : 2 × 2 × 2 = 8. Il y a donc 8 cartes possibles.
Pour préparer un goûter, tu peux choisir parmi 3 boissons, 3 fruits et 3 biscuits. Chaque boisson peut être accompagnée de n’importe quel fruit et de n’importe quel biscuit. Combien de goûters différents peux-tu préparer ?
L’arbre comporte 3 étapes de choix : boisson, fruit, biscuit. Depuis le départ, trace 3 branches pour les boissons. Au bout de chaque branche de boisson, trace 3 branches pour les fruits. Au bout de chaque branche de fruit, trace encore 3 branches pour les biscuits. Suivre un chemin complet permet de lire un goûter possible. Pour compter tous les chemins, calcule : 3 × 3 × 3 = 27. Tu peux préparer 27 goûters différents.
À retenir
- Un arbre à trois niveaux représente trois étapes de choix.
- À chaque étape, trace une branche pour chaque possibilité.
- Un chemin complet donne une combinaison.
- Le nombre d’extrémités est le nombre de combinaisons.
- Si les mêmes possibilités sont toujours disponibles, multiplie les nombres de possibilités des trois choix.
Les mots de la leçon
- Arbre
- Dessin composé de branches qui permet d’organiser les choix et de montrer toutes les combinaisons possibles.
- Combinaison
- Résultat obtenu en réunissant une possibilité de chaque sorte de choix.
Exemples résolusDes exercices faits devant toi, étape par étape
RegardePour choisir un cerf-volant, tu peux commencer par sa couleur, puis sa forme et enfin son ruban. Dessine une branche pour chaque couleur, prolonge chacune par toutes les formes, puis ajoute tous les rubans au bout de chaque forme : chaque chemin complet représente un cerf-volant possible.
Tu fabriques un cerf-volant. Tu choisis sa couleur, rouge ou jaune, puis sa forme, losange ou triangle, puis son ruban, court ou long. Construis un arbre pour trouver toutes les combinaisons.
- Depuis le départ, trace une branche « rouge » et une branche « jaune ».Tu représentes toutes les couleurs possibles.
- Depuis chaque couleur, trace une branche « losange » et une branche « triangle ».Chaque forme peut être associée à chaque couleur.
- Depuis chaque forme, trace une branche « court » et une branche « long ».Le choix du ruban doit apparaître après chaque début de chemin.
- Lis les chemins complets : rouge–losange–court ; rouge–losange–long ; rouge–triangle–court ; rouge–triangle–long ; jaune–losange–court ; jaune–losange–long ; jaune–triangle–court ; jaune–triangle–long.Cette liste donne toutes les combinaisons, sans répétition.
- Pour obtenir le nombre de combinaisons, calcule : deux fois deux fois deux.Chaque couleur donne les mêmes choix de formes, puis chaque forme donne les mêmes choix de rubans. Le produit compte les extrémités de l'arbre.
Pour les parentsCe que votre enfant apprend, le programme, comment l'aider
- Ce que votre enfant apprend
- Construire un arbre à trois niveaux de choix pour recenser toutes les combinaisons possibles et déterminer leur nombre.
- Au programme
- CE2 · BO n°41 du 31 octobre 2024 (cycle 2, CP/CE1/CE2, français ET mathématiques) Voir la source officielle
- Combien de temps
- Environ 15 minutes, en une fois ou en plusieurs.
Comment l'accompagner
- Laissez-le commencer par manipuler : la règle vient après, en une ou deux lignes.
- Le petit test se fait sans aide. La correction arrive à la fin, sans note.
- Si une explication ne passe pas, proposez-en une autre plutôt que de répéter la même.
Les réglages « Ma façon » reprennent des adaptations recommandées par l'Éducation nationale pour les élèves à besoins éducatifs particuliers, comme les troubles dys ou le TDAH. Éduscol : élèves à besoins éducatifs particuliers